Question

已知函数f(x)=ax²+4x+b(a、b∈R,a＜0),设关于x的方程f(x)=0的两实根为x₁和x₂，f(x)=x的两实根为α和β.

(1)若a、b均为负整数，|α-β|=1,求f(x)的解析式；

(2)若α＜1＜β＜2,求证：x₁x₂＜2.

Answer 1

(1)解：由题意，α、β是方程ax²+3x+b=0的两根，∴α+β=-,α·β=.

1=|α-β|=即a(a+4b)=9.

∵a、b均为负整数，∴a与a+4b都是负整数.用两组约数(-1,-9)及(-3，-3)试算知a=-1,a+4b=-9,∴a=-1,b=-2.

∴f(x)=-x²+4x-2.

(2)证明：∵α、β是方程f(x)=x的两根，即f(x)-x=0,ax²+3x+b=0的两根.

记g(x)=ax²+3x+b,∵α＜1＜β＜2,

∴(如下图)，

即

∴-2a-2b＜6＜-4a-b.∴2a＜b.

又a＜0,∴＜2.

而x₁、x₂是方程f(x)=0的两根，即ax²+4x+b=0的两根,

∴x₁x₂=＜2.