Question

已知曲线C：f（x）=x³-ax+a，
（Ⅰ）若f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）过C外一点A（1，0）引C的两条切线，若它们的倾斜角互补，求a的值．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的导数为f'（x）=3x²-a，…（1分）
因为f（x）在区间[1，2]上是增函数，所以f'（x）≥0在区间[1，2]上恒成立．  （4分）
a≤3x²恒成立．因为当1≤x≤2时3x²≥3，可得a≤3．                       …（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f'（x）=3x²-a，过点A（1，0）作曲线C的切线，
设切点（x₀，f（x₀）），则切线方程为：y=（3x₀-a）（x-1）…（9分）
将（x₀，f（x₀））代入得：f(x0)=

x

30

-ax0+a即2

x

30

-3x0=0   （*）
解得x₀=0或x₀=

3

2

         …（12分）
故满足条件的切线只有两条，且它们的斜率分别为-a与

27

4

-a，
因为两条切线的倾斜角互补，所以-a+

27

4

-a=0，解得a=

27

8

．         …（14分）