Question

【题目】已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且此抛物线的准线被椭圆C截得的弦长为1．

（I）求椭圆C的标准方程；

（II）直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为，直线m是线段AB的垂直平分线，试问直线过定点坐标．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）根据抛物线的焦点坐标求得椭圆，结合以及，求得的值，进而求得椭圆的标准方程.

（II）首先根据在椭圆的内部，求得的取值范围.分成的斜率存在或者不存在两种情况进行分类讨论，求出直线的方程，由此判断直线过定点.

（I）抛物线的焦点为，则．抛物线的准线被椭圆C截得的弦长为，所以，结合，解得，．

故椭圆C的标准方程为．

（II）显然点在椭圆C内部，故，且直线的斜率不为0

当直线l的斜率存在且不为0时，易知，设直线l的方程为

代入椭圆方程并化简得：

设，，则，解得．

因为直线m是线段AB的垂直平分线，故直线，即：．

令，此时，，于是直线m过定点．

当直线l的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线m过定点

综上所述，直线m过定点．