Question

已知函数f（x）=ke^x-x²（其中k∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）若k＜0，试判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若k=2，当x∈（0，+∞）时，试比较f（x）与2的大小；
（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），求k的取值范围，并证明0＜f（x₁）＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数f′（x），由于f′（x）＜0，即得f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
（Ⅱ）根据导函数即可判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，由单调性即可比较f（x）与2的大小；
（Ⅲ）先求导数f′（x），由题意知x₁、x₂是方程f′（x）=0的两个根，令φ(x)=

2x

ex

，利用导数得到函数φ（x）的单调区间，继而得到k的取值范围，由f′（x₁）=0，则得k=

2x1

ex1

，又由f（x₁）=-（x₁-1）²+1，x₁∈（0，1），即可得到0＜f（x₁）＜1．

解答：解：（Ⅰ）由f′（x）=ke^x-2x可知，
当k＜0时，由于x∈（0，+∞），f′（x）=ke^x-2x＜0，
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是单调递减函数．
（Ⅱ）当k=2时，f（x）=2e^x-x²，则f′（x）=2e^x-2x，
令h（x）=2e^x-2x，h′（x）=2e^x-2，
由于x∈（0，+∞），故h′（x）=2e^x-2＞0，
于是h（x）=2e^x-2x在（0，+∞）为增函数，
所以h（x）=2e^x-2x＞h（0）=2＞0，即f′（x）=2e^x-2x＞0在（0，+∞）恒成立，
从而f（x）=2e^x-x²在（0，+∞）为增函数，
故f（x）=2e^x-x²＞f（0）=2．
（Ⅲ）函数f（x）有两个极值点x₁，x₂，则x₁，x₂是f′（x）=ke^x-2x=0的两个根，
即方程k=

2x

ex

有两个根，设φ(x)=

2x

ex

，则φ′(x)=

2-2x

ex

，
当x＜0时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＜0；
当0＜x＜1时，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增且φ（x）＞0；
当x＞1时，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减且φ（x）＞0．
要使k=

2x

ex

有两个根，只需0＜k＜φ(1)=

2

e

．
故实数k的取值范围是(0，

2

e

)．
又由上可知函数f（x）的两个极值点x₁，x₂满足0＜x₁＜1＜x₂，
由f′(x1)=kex1-2x1=0，得k=

2x1

ex1

，
∴f(x1)=kex1-

x

2 1

=

2x1

ex1

ex1-

x

2 1

=x1(2-x1)=-

x

2 1

+2x1=-(x1-1)2+1，
由于x₁∈（0，1），故0＜-(x1-1)2+1＜1，
所以0＜f（x₁）＜1．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、二次函数的值域、不等式的求解，考查学生解决问题的能力，属中档题．