Question

已知数列a_n，其前n项和为．
（Ⅰ）求数列a_n的通项公式，并证明数列a_n是等差数列；
（Ⅱ）如果数列b_n满足a_n=log₂b_n，请证明数列b_n是等比数列，并求其前n项和；
（Ⅲ）设，数列{c_n}的前n项和为T_n，求使不等式T_n＞对一切n∈N^*都成立的最大正整数k的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用
（Ⅱ）用等比数列的定义证明；先判断公比是否为1，再选择等比数列的前 n 项和公式求解
（Ⅲ）裂项求和求T_n，判断T_n-T_n+1的正负，证明数列{T_n}的单调性，求出T_n的最值，解k
解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=5，（1分）
当n≥2时，=．（2分）
又a₁=5满足a_n=3n+2，（3分）
∴a_n=3n+2?（n∈N^*）．（4分）
∵a_n-a_n-1=3n+2-[3（n-1）+2]=3（n≥2，n∈N^*），
∴数列a_n是以5为首项，3为公差的等差数列．（5分）

（Ⅱ）由已知得（n∈N^*），（6分）
∵（n∈N^*），（7分）
又，
∴数列b_n是以32为首项，8为公比的等比数列．（8分）
∴数列b_n前n项和为．（9分）

（Ⅲ）（10分）
∴=．（11分）
∵（n∈N^*），
∴T_n单调递增．
∴．（12分）
∴，解得k＜19，因为k是正整数，∴k_max=18．（13分）
点评：当已知条件中含有S_n，会用，由前n项和求通项公式，是高考对数列部分的考查的重点，本题综合考查由和求项、等差数列的证明，等比数列的求和公式，及裂项求和，把握好裂项相消后余下的项．