Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a1=

1

2

，Sn=n2an-n(n-1)，n=1，2，…写出S_n与S_n-1的递推关系式（n≥2），并求S_n关于n的表达式．

Answer 1

分析：由题设条件得（n²-1）S_n-n²S_n-1=n（n-1），所以

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，由此可以推导出Sn=

n2

n+1

．

解答：解：由S_n=n²a_n-n（n-1）（n≥2），
得：S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），即（n²-1）S_n-n²S_n-1=n（n-1），
所以

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，对n≥2成立．
由

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，

n

n-1

Sn-1-

n-1

n-2

Sn-2=1，

3

2

S2-

2

1

S1=1，
相加得：

n+1

n

Sn-2S1=n-1，又S1=a1=

1

2

，
所以Sn=

n2

n+1

，
当n=1时，也成立．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的灵活应用．