题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及最值；
（Ⅱ）令 $数学公式$ ，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

解：（Ⅰ）∵ $\text{[math]}$ =sin $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ cos $\text{[math]}$ =2sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
∴f（x）的最小正周期T= $\text{[math]}$ =4π．
当sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=-1时，f（x）取得最小值-2；
当sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=1时，f（x）取得最大值2．
（Ⅱ）g（x）是偶函数．理由如下：
由（1）知f（x）=2sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
又 $\text{[math]}$ ，
∴g（x）=2sin[ $\text{[math]}$ （x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ]
=2sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=2cos $\text{[math]}$ ．
∵g（-x）=2cos（- $\text{[math]}$ ）=2cos $\text{[math]}$ =g（x），
∴函数g（x）是偶函数．
分析：利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数 $\text{[math]}$ 为y=2sin（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ），
（Ⅰ）直接利用周期公式求出周期，求出最值．
（Ⅱ）求出 $\text{[math]}$ 的表达式．然后判断出奇偶性即可．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简与求值，考查三角函数的基本性质，三角函数的奇偶性的判断，常考题型．