Question

已知函数．

(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数；

(Ⅱ)已知函数在处取得极值，且对,恒成立，

求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）在上递减，在上递增，即在处有极小值．

∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．

（Ⅱ）．

【解析】（1）求出函数的导函数，在定义域内研究其单调性就可得到极值点及其个数；（2）由函数在处取得极值，得，求出.把恒成立，转化为分离参数求函数最值，即得的范围.

（Ⅰ），······················································································· 1分

当时，在上恒成立，函数在单调递减，

∴在上没有极值点；················································································ 3分

当时，得，得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．················ 5分

∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．

（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，

∴，·········································································· 8分

令，可得在上递减，在上递增，··················· 10分

∴，即．       12分