Question

已知数列{a_n}的前n项和，数列{b_n}满足．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并说明{a_n}是否为等比数列；
（2）求数列的前n项和前T_n；
（3）若-对任意的n∈N^*恒成立，求t的最小正整数值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减可得数列通项，利用等比数列的定义可得结论；
（2）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和；
（3）确定b_n的最小值为b₂=b₃=，从而将不等式转化为t的不等式，即可求得结论．
解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=3×1-1=2；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=
∴
∵n=1时，a₁=S₁=3×1-1=2不满足
∴{a_n}不是等比数列；
（2）∵=，
∴=
∴数列的前n项和前T_n=
∴
两式相减可得=
∴T_n=
（3）由（2）有b_n+1-b_n==
∴n≤2时，有b_n+1-b_n≤0；n＞2时，b_n+1-b_n＞0
∴b_n的最小值为b₂=b₃=
∴-等价于-
∴t²-2t-3＞0
∴t＞3或t＜-1
∴t的最小正整数值是4．
点评：本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查错位相减法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．