Question

设函数f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）讨论g（t）在区间（-1，1）内的单调性并求极值．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数f（x）的导数，然后根据导数与最值的关系求出函数的最小值，从而求出g（t），
（2）首先求出函数g（t）的导数，然后根据导数与单调性和极值的关系求出g（t）在区间（-1，1）内的单调性和极值．

解答：解：（1）由题意得数f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4
=sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=（sinx-t）²+4t³-3t+4，
又由|t|≤1，可得，当sinx=t时，（sinx-t）²取得最小值，
此时函数f（x）取得最小值，即g（x）=4t³-3t+4，
（2）g（x）=4t³-3t+4，则g′（x）=12t²-3t，t∈（-1，1），
令g′（x）=0可得t=±

1

2

，
列表如下：

t	（-1，- 1 2 ）	- 1 2	（- 1 2 ， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，1）
g′（t）	+	0	-	0	+
g（t）	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

易得g（x）在区间（-1，-

1

2

）和（

1

2

，1）上为增函数，在区间（-

1

2

，

1

2

）上为减函数，
当t=-

1

2

时，g（t）取极大值为4，
当t=

1

2

时，g（t）取极小值为2．

点评：熟练掌握函数的导数与单调性和极值的关系，并会熟练运用其相关性质．