Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0），离心率为 ，左准线方程是x=﹣2，设O为原点，点A在椭圆C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB．

（1）求椭圆C的方程；
（2）求△AOB面积取得最小值时，线段AB的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的半焦距为c，则离心率e= = ，准线方程：x=﹣ =2，

解得：c=1，a= ，

由b2=a2﹣c2=1，

椭圆C的方程：

（2）解：由题意，直线OA的斜率存在，设直线OA的斜率为k，

若k=0时，则A（ ，0）或（﹣ ，0），B（0，2），

此时△AOB面积为 ，AB= ．

若k≠0时，则直线OA：y=kx，A（x1，y1），B（x2，y2），

将y=kx代入椭圆 ，整理得：（1+2k2）x2﹣2=0，

由韦达定理可知：可得丨OA丨= = ，

直线OB：y=﹣ x与y=2联立得：B（﹣2k，2），则OB=2 ，

S△OAB= OAOB= ，

令t= ＞1，

则S△OAB= = （t+ ）＞ ，

∴S△OAB的最小值为 ，在k=0时取得，此时AB=

【解析】（1）由题意可得：e= = ，x=﹣ =2，联立求得a和c的值，由b2=a2﹣c2 ， 即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）当k=0时，则A（ ，0）或（﹣ ，0），B（0，2），此时△AOB面积为 ，AB= ，当k≠0时，设直线OA方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，根据基本不等式的性质求得△AOB面积取得最小值，即可求得k的值，求得线段AB的长度．