Question

（2013•济南一模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且过点（2，

2

）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若k_AC•k_BD=-

b2

a2

，
（ i） 求

OA

•

OB

的最值．
（ ii） 求证：四边形ABCD的面积为定值．

Answer 1

分析：（1）把点(2，

2

)代入椭圆的方程，得到

4

a2

+

2

b2

=1，由离心率e=

c

a

=

2

2

，再由a²=b²+c²，
联立即可得到a²、b²、c²；
（2）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设k_AC=k，由k_AC•k_BD=-

b2

a2

=-

1

2

，可得kBD=-

1

2k

．
把直线AC、BD的方程分别与椭圆的方程联立解得点A，B，的坐标，再利用数量积即可得到关于k的表达式，利用基本不等式的性质即可得出最值；
（ii）由椭圆的对称性可知S_{四边形ABCD}=4×S_△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB，得到

S

2 四边形ABCD

=4[|OA|2|OB|2-(

OA

•

OB

)2]，代入计算即可证明．

解答：解：（1）由题意可得

c a = 2 2 4 a2 + 2 b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a2=8 b2=c2=4

，
∴椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）（i）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设x₁＞0，x₂＞0．
设k_AC=k，∵k_AC•k_BD=-

b2

a2

=-

1

2

，∴kBD=-

1

2k

．
可得直线AC、BD的方程分别为y=kx，y=-

1

2k

x．
联立

y=kx x2 8 + y2 4 =1

，

y=- 1 2k x x2 8 + y2 4 =1

．
解得x1=

2 2

1+2k2

，x2=

4|k|

1+2k2

．
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

1

2

x1x2=

4 2 |k|

1+2k2

≤

4 2 |k|

2 2 |k|

=2，当且仅当|k|=

2

2

时取等号．
无最小值．
ii）由椭圆的对称性可知S_{四边形ABCD}=4×S_△AOB=2|OA||OB|sin∠AOB．
∴

S

2 四边形ABCD

=4[|OA|2|OB|2-(

OA

•

OB

)2]=4[(

x

2 1

+

y

2 1

)(

x

2 2

+

y

2 2

)-(x1x2+y1y2)2]=4(x1y2-x2y1)2
=4(-

1

2k

x1x2-kx1x2)2=4(k+

1

2k

)2(

8 2 k

1+2k2

)2=128，为定值．

点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是解题的关键．