Question

在棱长为2的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、H分别为BB₁、DC、CC₁的中点.

(1)求证：D₁F⊥平面DEH；

(2)求点D₁到平面DEH的距离.

Answer 1

思路解析：本题所涉及的几何体是正方体，因此可以考虑通过建立直角坐标系来解决相应的问题.要证明线面垂直，围绕着线面垂直的判定定理，先证明线线垂直，转而证明相关的向量垂直，从而得出结论；再利用向量的相关知识求得点到面的距离.

解：如图所示建立空间直角坐标系，则点D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B₁(2,2,2)，C₁(0,2,2)，D₁(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，H(0,2,1).

(1)=(2,0,0)，=(0,2,1)，=(0,-1,2)，=2×0+(-1)×0+2×0=0，⊥，同理，⊥，∴⊥平面DEH.

(2)由(1)知，D₁F⊥平面DEH，所以=(0,-1,2)是平面DEH的一个法向量，因此点D₁到平面DEH的距离是d=