Question

已知圆经过点、，并且直线：平分圆.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点.

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）若，求的值.

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）确定圆需要三个条件，求圆方程可用待定系数法或直接法，此处是充分运用平几知识，求出圆心和半径，直接写方程；（Ⅱ）直线与圆的关系既可用几何法，也可运用代数法，这里两种方法都用了，感受一下，何时用何法的内在规律，韦达定理一定要和判别式结合使用，否则易犯错.

试题解析：（Ⅰ）线段的中点，，故线段的中垂线方程为，即.

因为圆经过两点，故圆心在线段的中垂线上.

又因为直线：平分圆，所以直线经过圆心.

由 解得，即圆心的坐标为，而圆的半径，所以圆的方程为： 5分

（Ⅱ）直线的方程为.

圆心到直线的距离，

（ⅰ）由题意得，两边平方整理得：

解之得 8分

（ⅱ）将直线的方程与圆的方程组成方程组得： 消去，整理得

10分

设，则由根与系数的关系可得：

，

而

所以

12分

故有，解得.经检验知，此时有，所以 14分

考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.