Question

已知函数．（a≠0）
（1）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且，x₁x₃=-12，求函数 y=f（x）的单调区间；
（2）若，3a＞2c＞2b，试问：导函数f′（x）在区间（0，2）内是否有零点，并说明理由．
（3）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f′（x）的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，及，x₁x₃=-12，可得，从而x₁，x₃是方程的两根，
由韦达定理可用a把b，c表示出来，让后按a的符号分情况解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）由可得a，b，c间的关系式，再由3a＞2c＞2b可判断a，b的符号，根据零点存在条件分情况讨论即可；
（3）设m，n是导函数f'（x）=ax²+bx+c的两个零点，则，，|m-n|可用a，b表示出来，根据已知可得不等式得的一范围，
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，由此可得的又一范围，两者取交集即可得到的取值范围．
解答：解（1）因为，又，x₁x₃=-12，
所以，
因为x₁，x₃是方程的两根，
所以，，即b=-3a，c=-4a，
从而：，
所以f′（x）=ax²-3ax-4a=a（x-4）（x+1）．
令  f′（x）=0解得：x=-1，x=4，
当a＞0时，y=f（x）的单调递减区间是（-1，4），单调递增区间是（-∞，-1），（4，+∞）．
当a＜0时，y=f（x）的单调递增区间是（-1，4），单调递减区间是（-∞，-1），（4，+∞）．
（2）因为f'（x）=ax²+bx+c，，
所以，即3a+2b+2c=0．
因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
①当c＞0时，因为，
则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
②当c≤0时，因为，
则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
（3）设m，n是导函数f'（x）=ax²+bx+c的两个零点，则，．
所以．
由已知，，则，即．
所以，即或．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即．
因为a＞0，所以．
综上所述，的取值范围是．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数零点问题，考查学生分析问题解决问题的能力．