Question

已知函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，若，且g（x）在区间（0，2]上为减函数，则实数a的取值范围是

1. A.
   [3，+∞）
2. B.
   [2，+∞）
3. C.
   （0，3]
4. D.
   （0，2]

Answer 1

A
分析：利用函数图象对称的公式，求得f（x）=2-h（-x）=，由此可得g（x）=x+．然后对函数g（x）求导数，并讨论导数g'（x）在区间（0，2]恒小于或等于0，即可得到实数a的取值范围．
解答：∵函数f（x）的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称，
∴f（x）=2-h（-x）=2-（）=
由此可得=x+，对g（x）求导数，得g'（x）=1-
∵g（x）在区间（0，2]上为减函数，
∴g'（x）=1-≤0在区间（0，2]恒成立，即≥1，可得x²≤a+1
∴x²的最大值小于或等于a+1，即a+1≥4，a≥3
故选A
点评：本题用导数为工具讨论函数的单调性，着重考查了函数的单调性、函数图象的对称性质和不等式恒成立的讨论等知识，属于基础题．