Question

设首项为1的数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n+1-2S_n=2ⁿ，n∈N^*，则其通项a_n=________．

Answer 1

（n+1）2^n-2
分析：利用S_n-S_n-1=a_n，转化S_n+1-2S_n=2ⁿ，为S_n=a_n+1-2ⁿ的关系，推出a_n+1=2a_n+2 ^n-1，说明{}是以为首相d=为公差的等差数列，即可求出通项公式．
解答：由S_n-S_n-1=a_n则S_n+1-S_n=a_n+1，
S_n+1-2S_n=2ⁿ，n∈N^*，
S_n+1-S_n-S_n=2ⁿ，
则a_n+1-S_n=2ⁿ，
S_n=a_n+1-2ⁿ，
∴a_n=S_n-S_n-1
=a_n+1-2ⁿ-[a_n-2^n-1]
=-2 ^n-1+a_n+1-a_n
∴a_n+1=2a_n+2 ^n-1（两边同除以2ⁿ⁺¹）
∴，
∴，
所以{}是以为首相d=为公差的等差数列

化简：a_n=（n+1）2^n-2．
故答案为：（n+1）2^n-2．
点评：本题是中档题，考查数列递推关系式的应用，数列通项公式的求法，把数列转化为等差数列是解题的关键，考查转化思想，计算能力．