题目内容
已知数列{an}满足：a1=3，an+1an+2an+1=3an+2，n∈N+，记bn=
．
（Ⅰ） 求证：数列bn是等比数列；
（Ⅱ） 若an≤t•4n对任意n∈N+恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）证明：a1+a2+a3+…+an＞2n+
．
| an-2 |
| an+1 |
（Ⅰ） 求证：数列bn是等比数列；
（Ⅱ） 若an≤t•4n对任意n∈N+恒成立，求t的取值范围；
（Ⅲ）证明：a1+a2+a3+…+an＞2n+
| 3 |
| 4 |
分析：（Ⅰ）由条件先得an+1=
，再分别表示∴an+1-2，an+1+1，两式相除，可得数列{bn}是首项为
，公比为
的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an=
，对an≤t•4n分离参数得t≥
，从而可解；
（Ⅲ）由于an=
=2+
＞2+
，利用放缩法可证．
| 3an+2 |
| an+2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an=
| 1+2×4n |
| 4n-1 |
2+
| ||
| 4n-1 |
（Ⅲ）由于an=
| 2•4n+1 |
| 4n-1 |
| 3 |
| 4n-1 |
| 3 |
| 4n |
解答：解：（Ⅰ）证明：∵an+1an+2an+1=3an+2，∴an+1=
，∴an+1-2=
，an+1+1=
两式相除得bn+1=
bn，b1=
∴数列{bn}是首项为
，公比为
的等比数列．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=
=
，∴an=
由an≤t•4n得t≥
易得
是关于n的减函数，∴
≤
，∴t≥
（8分）
（Ⅲ）an=
=2+
＞2+
．∴a1+a2++an＞(2+
)+(2+
)++(2+
)=2n+(
+
++
)
=2n+
•
=2n+1-(
)n≥2n+
．∴a1+a2+a3++an＞2n+
．（13分）
| 3an+2 |
| an+2 |
| an-2 |
| an+2 |
| 4(an+1) |
| an+2 |
两式相除得bn+1=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴数列{bn}是首项为
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知bn=
| 1 |
| 4n |
| an-2 |
| an+1 |
| 1+2×4n |
| 4n-1 |
由an≤t•4n得t≥
2+
| ||
| 4n-1 |
2+
| ||
| 4n-1 |
2+
| ||
| 4n-1 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
（Ⅲ）an=
| 2•4n+1 |
| 4n-1 |
| 3 |
| 4n-1 |
| 3 |
| 4n |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 42 |
| 3 |
| 4n |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 42 |
| 3 |
| 4n |
=2n+
| 3 |
| 4 |
1-(
| ||
1-
|
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
点评：本题考查构造新数列是求数列的通项，考查分离参数法求解恒成立问题，考查放缩法证明不等式，属于中档题．
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