Question

如图,半圆O的直径为2,A为直径的延长线上的一点,OA=2,B为半圆周上的动点,以AB为边,向形外作等边△ABC,问B点在什么位置时,四边形OACB的面积最大?并求出这个最大面积.

   

Answer 1

思路分析:本题主要综合考查正、余弦定理及函数的最值等问题,首先应建立四边形AOBC面积的函数关系式,然后讨论最值.

    解:设∠AOB=x,由OA=2,OB=1.

    知AB²=OA²+OB²-2OA·OBcosx=5-4cosx.

△ABC与△AOB的面积分别为

S_△ABC=AB²=(5-4cosx),

S_△AOB=OA·OBsinx=sinx.

    所以四边形OACB的面积为

S=(5-4cosx)+sinx,

    整理得S=+2sin(x-60°).

    由上式可知,当x-60°=90°,即x=150°时,四边形OACB的面积最大,且其最大面积为+2.