Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，O是AC与BD的交点，E是B₁B上一点，且B₁E=，
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面D₁AC；
（Ⅱ）求异面直线D₁O与A₁D所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线D₁O与平面AEC所成角的正弦值。

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz， 则 ， ∴， ， ， 又AC与AD1交于A点， ， ∴B1D⊥平面D1AC； （Ⅱ）设A1D与D1O所成的角为θ， ， ∴， ∴， 所求异面直线A1D与D1O所成角的余弦值为； （Ⅲ）设平面AEC与直线D1O所成的角为φ， 设平面AEC的法向量为， ， ， ， 令z=1，则， ∴， ∴， 所求平面AEC与直线D1O所成角的正弦值为。