Question

【题目】已知函数是偶函数.

（1）求的值；

（2）若，求的取值范围；

（3）设函数，其中.若函数与的图象有且只有一个交点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) （2） 或；(2)

【解析】试题分析：（1）由化简可得恒成立，从而可求出的值； （2）先利用对数的运算法则对不等式化简，再根据对数函数的单调性及指数函数的性质解不等式；（3）运用函数与方程思想解题，问题转化为关于的方程在上只有一解，分两种情况讨论，利用二次函数的性质列不等式求解即可.

试题解析：（1）是偶函数，

对任意，恒成立

恒成立，

恒成立

（2）若则

所以，所以

令则有即

解得或

所以或

所以或

（3）由于，所以定义域为，也就是满足

函数与的图象有且只有一个交点，

方程在上只有一解

即：方程在上只有一解，令，则，

因而等价于关于的方程 在上只有一解

①当时，解得，不合题意；

当时，记，其图象的对称轴

函数在上递减，而方程在无解

②当时，记，其图象的对称轴， ，所以，只需，

即，此恒成立此时的范围为

综上所述，所求的取值范围为