题目内容

数列{a_n}满足 $数学公式$ ， $数学公式$ ．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设ln（1+x）＜x在x＞0时成立，数列{a_n}的前n项和为S_n，证明 $数学公式$ ．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =-1+ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ 是首项为-2，公差为-1的等差数列．
∴ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
数列{a_n}的通项公式为 $\text{[math]}$ ．
（2）∵ln（1+x）＜x在x＞0时成立，
从而ln（1+ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ln（1+ $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ ＜1-ln（n+2）+ln（n+1），
S_n＜（1-ln3+ln2）+（1-ln4+ln3）+…+[1-ln（n+2）+ln（n+1）]=n+ln（n+2）-ln2=n-ln（ $\text{[math]}$ ）
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）利用已知条件，推出 $\text{[math]}$ 是首项为-2，公差为-1的等差数列．求出通项公式，然后求解即可．
（2）利用ln（1+x）＜x在x＞0时成立，推出数列a_n＜1-ln（n+2）+ln（n+1），的关系式，通过数列消项求和，推出结果．
点评：本题考查数列通项公式的求法，数列前n项和的求法，数列与不等式的综合应用，考查转化思想、计算能力．

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（2011•西城区二模）数列{a_n}满足a₁=1，an+1=

an，其中λ∈R，n=1，2，…．给出下列命题：
①?λ∈R，对于任意i∈N^*，a_i＞0；
②?λ∈R，对于任意i≥2（i∈N^*），a_ia_i+1＜0；
③?λ∈R，m∈N^*，当i＞m（i∈N^*）时总有a_i＜0．
其中正确的命题是

．（写出所有正确命题的序号）

已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x₁，x₂满足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）+2，数列{a_n}满足a₁=0，且对任意n∈N^*，a_n=f（n），则f（2010）=（　　）

数列{a_n}满足a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n∈N^*，n≥2），
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（2011•绵阳一模）已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（

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．
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（ II ）求f（a_n）的表达式；
（III）设b_n=-

，T_n为数列{b_n}的前n项和，试问是否存在正整数m，n，使得

成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由．

设函数f（x）的定义域为R，f(x)=

，且f（0）=1，f（x）在R上为减函数；若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f(an+1)=

(n∈N*)；
（1）求{a_n}通项公式；
（2）当a＞1时，不等式

(loga+1x-logax+1)对不小于2的正整数n恒成立，求x的取值范围．