Question

已知函数f（x）=lnx+x²-3x-c
（1）若函数f（x）在（

1

2

，

1

4

+m）上是单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若函数y=2x-lnx（x∈[1，4]）的图象总在函数y=f（x）的图象的上方，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用导数求出函数f（x）的单调区间，利用f（x）在（

1

2

，

1

4

+m）上是单调函数，即（

1

2

，

1

4

+m）是单调区间的一个子集，建立条件关系即可．
（2）将条件转化为2x-lnx＞x²-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，构造函数，利用导数求函数的最值即可．

解答：解：（1）由题意可知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=2x-3+

1

x

=

2x2-3x+1

x

=

(2x-1)(x-1)

x

．
令f′（x）=0，得x=

1

2

或x=1．
由f′（x）＞0，解得x＞1或0＜x＜

1

2

，
由f′（x）＜0，解得

1

2

＜x＜1
∴f（x）的单调递增区间为（0，

1

2

），（1，+∞）；
f（x）的单调递减区间为（

1

2

，1）．
要使函数f（x）在区间（

1

2

，m+

1

4

）上是单调函数，
则

1

2

＜m+

1

4

≤1，即

1

4

＜m≤

3

4

．
则故实数m的取值范围是

1

4

＜m≤

3

4

．
（3）由题意可知，2x-lnx＞x²-3x-c+lnx在x∈[1，4]上恒成立，
即当x∈[1，4]时，c＞x²-5x+2lnx恒成立．
设g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，则c＞g（x）_max．
g′（x）=2x-5+

2

x

=

2x2-5x+2

x

=

(x-2)(2x-1)

x

．
令g′（x）=0得，x=

1

2

或x=2．
当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减；
当x∈（2，4）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增．
而g（1）=1²-5×1+2ln 1=-4，g（4）=4²-5×4+2ln 4=-4+4ln 2，
显然g（1）＜g（4），
故函数g（x）在[1，4]上的最大值为g（4）=-4+4ln 2，
故c＞-4+4ln 2．
∴c的取值范围为（-4+4ln 2，+∞）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和求最值问题，将函数恒成立转化为求函数最值问题是解决本题的关键，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大．