Question

函数f（x）=|x²-a|在区间[-1，1]上的最大值为M（a），则M（a）的最小值是

1

2

．

Answer 1

分析：由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行，结合二次函数的单调性及a的正负及

a

与1的大小分类讨论求解M（a）．

解答：解：由题意可得函数f（x）为偶函数，因此讨论M（a）的值域只需在x∈[0，1]这一范围内进行；
①当a≤0时，f（x）=x²-a，函数f（x）在[0，1]单调递增，M（a）=f（1）=1-a≥1．
②当 1＞a＞0时，函数f（x）在[0，

a

]上单调递减，在[

a

，1]上单调递增，
所以f（x）在[0，

a

]内的最大值为M（a）=f（0）=a，而f（x）在[

a

，1]上的最大值为M（a）=f（1）=1-a．
由f（1）＞f（0）得1-a＞a，即0＜a＜

1

2

．
故当a∈（0，

1

2

）时，M（a）=f（1）=1-a＞

1

2

，同理，当a∈[

1

2

，1）时，M（a）=f（0）=a≥

1

2

．
③当a≥1时，函数在[0，1]上为减函数，所以M（a）=f（0）=a≥1．
综上，M（a）=1-a，（当a＜

1

2

时）； M（a）=a，（当a≥

1

2

时）．
所以M（a）在[0，

1

2

]上为减函数，且在[

1

2

，1]为增函数，易得M（a）的最小值为M（

1

2

）=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题主要考查了偶函数的性质的应用，其实由分析可得M（a）=f（0）或f（1），所以可直接通过比较f（0）与f（1）的大小得出M（a）的解析式从而求解．