Question

已知f（x）=

x2+ax+b

x

（x∈（0，+∞）），存在实数a，b，使f（x）满足：（i）f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）是增函数；
（ii）f（x）的最小值是5．
（1）求a，b的值及f（x）的解析式；
（2）（理科）求y=f（x）的图象与三直线x=1，x=e及y=0所围成的图形面积；
（3）若函数F（x）=f（x）-c•cosx，当x∈(0，

π

6

]时是单调减函数，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将解析式化简后求出f′(x)=1-

b

x2

，由条件得f′（2）=0和f（2）=5，求出a和b，再求出函数的解析式；
（2）由（1）和定积分求出所围成的图形面积即可；
（3）将条件转化为：F′(x)=1-

4

x2

+c•sinx≤0在(0，

π

6

]恒成立，再分离出常数c，求出对应函数的最小值，即求出c的范围．

解答：解：（1）由f（x）=

x2+ax+b

x

=x+

b

x

+a得，f′(x)=1-

b

x2

，
∵f（x）在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）是增函数，
∴函数f（x）在x=2出取得极小值，也是函数的最小值，
则f′（2）=0，∴1-

b

4

=0，解得b=4，
又∵f（2）=5，∴

4+2a+b

2

=5，解得a=1，
∴f(x)=x+

4

x

+1；
（2）由题意得，s=

∫

e 1

 f(x)dx=F(e)-F(1)=

1

2

e2+e+4-

1

2

-1
=

1

2

e2+e+

5

2

；
（3）由题意知，F（x）=f（x）-c•cosx在(0，

π

6

]上是减函数，
∴F′(x)=1-

4

x2

+c•sinx≤0对于x∈(0，

π

6

]恒成立，
则c≤

4 x2 -1

sinx

，
当x=

π

6

时有(

4 x2 -1

sinx

)min=

288

π2

-2，
∴c≤

288

π2

-2．

点评：本题考查了导数与函数的单调性、极值和最值的关系，以及定积分求图形的面积，函数恒成立问题的转化，和分离常数法，考查了的范围较广，属于中档题．