题目内容
选修4-1 几何证明选讲圆的两弦AB、CD交于点F，从F点引BC的平行线和直线AD交于P，再从P引这个圆的切线，切点是Q．
求证：PF=PQ．
分析：因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ADF=∠ABC．因为PF∥BC，所以∠AFP=∠FQP．再由∠APF=∠FPA，得△APF∽△FPQ．由此能够证明PF=PQ．
解答：
证明：因为A，B，C，D四点共圆，
所以∠ADF=∠ABC．
因为PF∥BC，所以∠AFP=∠ABC．
所以∠AFP=∠FQP．
又因为∠APF=∠FPA，
所以△APF∽△FPQ．所以
=
．
所以PF2=PA?PD．
因为PQ与圆相切，所以PQ2=PA?PD．
所以PF2=PQ2．所以PF=PQ．
证明：因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ADF=∠ABC．
因为PF∥BC，所以∠AFP=∠ABC．
所以∠AFP=∠FQP．
又因为∠APF=∠FPA，
所以△APF∽△FPQ．所以
| PF |
| PA |
| PD |
| PF |
所以PF2=PA?PD．
因为PQ与圆相切，所以PQ2=PA?PD．
所以PF2=PQ2．所以PF=PQ．
点评：本题考查与圆有关的线段的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
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