题目内容
对任何函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x0∈D，经数列发生器输出x1=f（x0）；②若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去．现定义f(x)=| 4x-2 |
| x+1 |
（Ⅰ）若输入x0=
| 49 |
| 65 |
（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x0的值；
（Ⅲ）若输入x0时，产生的无穷数列{xn}满足：对任意正整数n，均有xn＜xn+1，求x0的取值范围．
分析：（Ⅰ）利用f(x)=
，x0=
及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{xn}的只有三项；
（Ⅱ）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有f(x)=
=x，从而求出相应的初始数据x0的值；
（Ⅲ）要使对任意正整数n，均有xn＜xn+1，则必须x＜
，得x＜-1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x1＜-1或1＜x1＜2，再分别进行验证．
| 4x-2 |
| x+1 |
| 49 |
| 65 |
（Ⅱ）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有f(x)=
| 4x-2 |
| x+1 |
（Ⅲ）要使对任意正整数n，均有xn＜xn+1，则必须x＜
| 4x-2 |
| x+1 |
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），所以数列{xn}只有三项x1=
，x2=
，x3=-1．
（Ⅱ）因为f(x)=
=x，即x2-3x+2=0，所以x=1或x=2，即x0=1或x0=2时，xn+1=
=xn•
故当x0=1时，xn=1；当x0=2时，xn=2（n∈N*）．
（Ⅲ）解不等式x＜
，得x＜-1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x1＜-1或1＜x1＜2．
对于函数f(x)=
=4-
，
若x1＜-1，则x2=f（x1）＞4，x3=f（x2）＜x2．
当1＜x1＜2时，x2=f（x1）＞x1，且1＜x2＜2．依此类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn（n∈N）．
综上所述，x1∈（1，2），由x1=f（x0），得x0∈（1，2）．
| 11 |
| 19 |
| 1 |
| 5 |
（Ⅱ）因为f(x)=
| 4x-2 |
| x+1 |
| 4xn-2 |
| xn+1 |
故当x0=1时，xn=1；当x0=2时，xn=2（n∈N*）．
（Ⅲ）解不等式x＜
| 4x-2 |
| x+1 |
对于函数f(x)=
| 4x-2 |
| x+1 |
| 6 |
| x+1 |
若x1＜-1，则x2=f（x1）＞4，x3=f（x2）＜x2．
当1＜x1＜2时，x2=f（x1）＞x1，且1＜x2＜2．依此类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn（n∈N）．
综上所述，x1∈（1，2），由x1=f（x0），得x0∈（1，2）．
点评：本题是数列与算法的简单结合，应搞清算法原理，将问题等价转化，有一定的难度．
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，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出数列{xn}的所有项；
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，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出数列{xn}的所有项；
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