题目内容
对任何函数f（x），x∈D，可按图示构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据x∈D，经数列发生器输出x1=f（x）；②若x1∉D，则数列发生器结束工作；若x1∈D，则将x1反馈回输入端，再输出x2=f（x1），并依此规律继续下去．现定义
（Ⅰ）若输入
，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出数列{xn}的所有项；（Ⅱ）若要数列发生器产生一个无穷的常数列，试求输入的初始数据x的值；
（Ⅲ）若输入x时，产生的无穷数列{xn}满足：对任意正整数n，均有xn＜xn+1，求x的取值范围．
【答案】分析：（Ⅰ）利用
，
及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{xn}的只有三项；
（Ⅱ）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有
，从而求出相应的初始数据x的值；
（Ⅲ）要使对任意正整数n，均有xn＜xn+1，则必须
，得x＜-1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x1＜-1或1＜x1＜2，再分别进行验证．
解答：解：（Ⅰ）因为f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），所以数列{xn}只有三项
．
（Ⅱ）因为
，即x2-3x+2=0，所以x=1或x=2，即x=1或x=2时，
故当x=1时，xn=1；当x=2时，xn=2（n∈N*）．
（Ⅲ）解不等式
，得x＜-1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x1＜-1或1＜x1＜2．
对于函数
，
若x1＜-1，则x2=f（x1）＞4，x3=f（x2）＜x2．
当1＜x1＜2时，x2=f（x1）＞x1，且1＜x2＜2．依此类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn（n∈N）．
综上所述，x1∈（1，2），由x1=f（x），得x∈（1，2）．
点评：本题是数列与算法的简单结合，应搞清算法原理，将问题等价转化，有一定的难度．
，及工作原理，注意函数的定义域，直接可求得数列{xn}的只有三项；（Ⅱ）要数列发生器产生一个无穷的常数列，则有
，从而求出相应的初始数据x的值；（Ⅲ）要使对任意正整数n，均有xn＜xn+1，则必须
，得x＜-1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x1＜-1或1＜x1＜2，再分别进行验证．解答：解：（Ⅰ）因为f（x）的定义域D=（-∞，-1）∪（-1，+∞），所以数列{xn}只有三项
．（Ⅱ）因为
，即x2-3x+2=0，所以x=1或x=2，即x=1或x=2时，故当x=1时，xn=1；当x=2时，xn=2（n∈N*）．
（Ⅲ）解不等式
，得x＜-1或1＜x＜2，要使x1＜x2，则x1＜-1或1＜x1＜2．对于函数
，若x1＜-1，则x2=f（x1）＞4，x3=f（x2）＜x2．
当1＜x1＜2时，x2=f（x1）＞x1，且1＜x2＜2．依此类推可得数列{xn}的所有项均满足xn+1＞xn（n∈N）．
综上所述，x1∈（1，2），由x1=f（x），得x∈（1，2）．
点评：本题是数列与算法的简单结合，应搞清算法原理，将问题等价转化，有一定的难度．
练习册系列答案
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，则由数列发生器产生数列{xn}，请写出数列{xn}的所有项；
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