Question

直线x+y=n（n∈N⁺）与x轴y轴所围成区域内部（不包括边界）的整点个数为a_n，所围成区域内部（包括边界）的整点个数为b_n，（整点就是横坐标，纵坐标都为整数的点）
（Ⅰ）求a₃和b₃的值；
（Ⅱ）求a_n及b_n的表达式；
（Ⅲ）对a_n个整点用红黄蓝白四色之一着色，其方法总数为A_n，对b_n个整点用红黄两色之一着色，其方法总数为B_n，试比较A_n与B_n的大小

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求a₃和b₃的值，只需令n=3时，找出满足条件的点，即可得到．
（Ⅱ）通过探讨各直线上的点和区域内部的点的个数，即可求得a_n及b_n的表达式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的结论求出A_n，B_n，利用作商法比较大小．

解答：解：（Ⅰ）n=3时，直线x=0上有（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）4个点，直线x=1上有（1，0）（1，1）（1，2）3个点，
直线x=2上有（2，0）（2，1）2个点，直线x=3上有（3，0）1个点，所以a₃=1，b₃=4+3+2+1=10
（Ⅱ）n=1时，b₁=3，a₁=0
n=2时，b₁=6，a₂=0
当n≥3时，b_n=（n+1）+n+（n-1）+…+2+1=

(n+1)(n+2)

2

a_n=b_n-3（n+1）+3=

(n-1)(n-2)

2

当n=1，2时也满足
所以a_n=

n2-3n+2

2

，b_n=

n2+3n+2

2

（n∈N^*_）
（Ⅲ）对于a_n个整点中的每一个点都有4种着色方法，故A_n=4

n2-3n+2

2

对于b_n个整点中的每一个点都有2种着色方法，故B_n=2

n2+3n+2

2

∴

An

Bn

=2(n2-3n+2)-

n2+3n+2

2

=2

n2-9n+2

2

=2

(n- 9 2 )2- 65 4

2

当n=1，2，3，4，5，6，7，8时A_n＜B_n
当n≥9且n∈N^*时，A_n＞B_n

点评：本题是个中档题，主要考查了数列递推式，同时考查了作商比较大小的方法，注意分类讨论的思想的应用．