Question

（2011•临沂一模）投掷四枚不同的金属硬币A、B、C、D，假定A、B两枚正面向上的概率均为

1

2

，另两枚C、D为非均匀硬币，正面向上的概率均为a（0＜a＜1），把这四枚硬币各投掷一次，设ξ表示正面向上的枚数．
（1）若A、B出现一正一反与C、D出现两正的概率相等，求a的值；
（2）求ξ的分布列及数学期望（用a表示）；
（3）若出现2枚硬币正面向上的概率最大，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）A、B出现一正一反的概率为C2×1×

1

2

×(1-

1

2

)，C、D出现两正的概率为a²，由于两个概率相等，即可列出关于a的方程
（2）ξ的可能的值为0，1，2，3，4其中0和4时直接计算即可，ξ的值为1时要分是A，B还是C，D正面向上；ξ的值为2时要分都是A，B中的，都是C，D中的，A，B和C，D中个一个；ξ的值为3时要分ABC，ABD，CDA，CDB然后根据n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，和独立事件的概率定义即可求出ξ的分布列，数学期望由求出ξ的分布列即可求解
（3）利用出现2枚硬币正面向上的概率最大建立关于a的不等关系，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）由题意得：2×

1

2

×(1-

1

2

)=a2
∴a=

2

2

（2）ξ=0，1，2，3，4
P（ξ=0）=C20(1-

1

2

)2C20(1-a)2=

1

4

(1-a)2，
P（ξ=1）=C21

1

2

(1-

1

2

) C20(1-a)2+C20(1-

1

2

)2C21a(1-a)= 

1

2

(1-a) 
P（ξ=2）=C22

1

2

2C20(1-a)2+C21

1

2

(1-

1

2

) C21a(1-a)+C20(1-

1

2

)2C22a2= 

1

4

(1+2a-2a2) 
P（ξ=3）=C22

1

2

2C21a(1-a) +C21

1

2

(1-

1

2

) C22a2=

a

2

P（ξ=4）=C22(

1

2

)2C22a2=

1

4

a2，
得ξ得分布列为：

∴Eξ=1×

1

2

(1-a)+2×

1

4

(1+2a-2a2)+3×

a

2

+4×

1

4

a2=2a+1
（3）∵0＜a＜1，显然

1

4

(1-a)2＜

1

2

(1-a)，即P（ξ=0）＜P（ξ=1）
∵

a

2

＞

1

4

a2，即P(ξ=3)＞P(ξ=4)
由P（ξ=2）-P（ξ=1）=

1

4

(1+2a-2a2)-

1

2

（1-a）=-

1

4

(2a2-4a+1) ≥0
且P（ξ=2）-P（ξ=3）=

1

4

(1+2a-2a2)-

a

2

=-

1

4

(2a2-1) ≥0
得

2a2-4a+1≤0 2a2-1≤0

解得

2- 2

2

≤a≤

2

2

即a三问取值范围是：[

2- 2

2

，

2

2

]

点评：本小题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率、离散型随机变量的期望与方差、概率的应用等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．