Question

1．已知M（3，y₀）（y₀＞0）为抛物线C：y²=2px（p＞0）上一点，F为抛物线C的焦点，且|MF|=5．
（1）求抛物线C方程；
（2）MF的延长线交抛物线于另一点N，求N的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用|MF|=3+$\frac{p}{2}$=5，计算即得结论；
（2）通过设MF所在直线的方程，并与抛物线C的方程联立，利用韦达定理计算即得结论．

解答 解：（1）∵|MF|=3+$\frac{p}{2}$=5，∴p=4，
∴抛物线C方程为：y²=8x；
（2）∵MF不垂直于x轴，故可设MF所在直线的方程为：y=k（x-2），
与抛物线C的方程联立，可得：k²x²-（4k²+8）x+4k²=0，
由韦达定理可知：x_Mx_N=$\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}}$=4，
∵x_M=3，∴x_N=$\frac{4}{3}$，
∵N为MF的延长线与抛物线的交点，
由图象可知y_N＜0，
∴y_N=-$\sqrt{2p{x}_{N}}$=-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$，
∴N（$\frac{4}{3}$，-$\frac{4\sqrt{6}}{3}$）．

点评 本题考查求抛物线的方程、求点的坐标，注意解题方法的积累，属于中档题．