Question

（2013•房山区二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

，且过点A(

2

， 1)．直线y=

2

2

x+m交椭圆C于B，D（不与点A重合）两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用椭圆的标准方程、离心率及a²=b²+c²即可得出；
（2）把直线BD的方程与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式即可得到|BD|，利用点到直线的距离公式即可得到点A到直线BD的距离，利用三角形的面积公式得到△ABD的面积，再利用基本不等式的性质即可得出其最大值．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得

c a = 2 2 2 a2 + 1 b2 +1 a2=b2+c2

，解得

a2=4 b2=c2=2

，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）．
由

y= 2 2 x+m x2 4 + y2 2 =1

消去y得到x2+

2

mx+m2-2=0，
∵直线与椭圆有两个不同的交点，∴△=8-2m²＞0，解得-2＜m＜2．
∴x1+x2=-

2

m，x1x2=m2-2．
∴|BD|=

[1+( 2 2 )2][(x1+x2)2-4x1x2]

=

3 2 [2m2-4(m2-2)]

=

3(4-m2)

．
点A到直线BD的距离d=

|2-2+2m|

6

=

|2m|

6

．
∴S△ABD=

1

2

|BD|d=

1

2

×

3(4-m2)

×

|2m|

6

=

2

2

m2(4-m2)

≤

2

2

×

m2+(4-m2)

2

=

2

．
当且仅当m=±

2

∈（-2，2）时取等号．
∴当m=±

2

时，△ABD的面积取得最大值

2

．

点评：熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题的解题模式、根与系数的关系、判别式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积公式、基本不等式的性质是解题的关键．