Question

12．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，椭圆C上任意一点到它两焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设0为原点．点A为圆C上一点，点B的坐标为（t，2），t∈R，且OA⊥OB，判断直线AB与圆x²+y²=2的位置关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式及椭圆的性质，求出a与b的值，即可确定出椭圆C的方程；
（2）设出点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0，由OA⊥OB得到$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示，然后分A，B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程，然后由圆x²+y²=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB与圆x²+y²=2相切．

解答 解：（1）∵椭圆C上任意一点到它两焦点的距离之和为4，
∴由椭圆的定义可知，2a=4，
∴a=2，
∵e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{2}$，
∴C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）直线AB与圆x²+y²=2相切．
证明如下：
设点A，B的坐标分别为（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0．
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，即tx₀+2y₀=0，解得t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
当x₀=t时，y₀=-$\frac{{t}^{2}}{2}$，代入椭圆C的方程，得t=±$\sqrt{2}$．
故直线AB的方程为x=±$\sqrt{2}$，圆心O到直线AB的距离d=$\sqrt{2}$．
此时直线AB与圆x²+y²=2相切．
当x₀≠t时，直线AB的方程为y-2=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-t}$（x-t），
即（y₀-2）x-（x₀-t）y+2x₀-ty₀=0．
圆心O到直线AB的距离d=$\frac{|2{x}_{0}-t{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-2）^{2}+（{x}_{0}-t）^{2}}}$．
又x₀²+2y₀²=4，t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
故d=$\frac{|\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{4}+8{{x}_{0}}^{2}+16}{2{{x}_{0}}^{2}}}}$=$\sqrt{2}$．
此时直线AB与圆x²+y²=2相切．

点评 此题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，这也是高考常考的知识点，属于中档题．