Question

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；　　　
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若对任意，f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ）-b．
又为奇函数，且0＜φ＜π，则，，
故．
（2）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 ，
故函数的增区间为．
令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 ，
故函数的减区间为．
（3）∵f²（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，整理可得．
∵，∴0≤sin（2x+）≤1，-≤f（x）≤1-，故．
则有 ，故 的最小值为，
故 ，即m取值范围是．
分析：（1）由周期求得ω，由函数g（x）为奇函数求得φ和b的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间．同理，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的减区间．
（3）把条件整理可得，根据x的范围，求得f（x）的范围，即可求得实数m的取值范围．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，不等式的性质应用，函数的奇偶性，函数的恒成立问题，属于中档题．