题目内容

已知椭圆：
x2
8
+
y2
4
=1．
（1）若点（x，y0）为椭圆上的任意一点，求证：直线
x0x
8
+
y0y
4
=1为椭圆的切线；
（2）若点P为直线x+y-4=0上的任意一点，过P作椭圆的切线PM、PN，其中M、N为切点，试求椭圆的右焦点F到直线MN的距离的最大值．
（1）由题意，x02+2y02=8，即2y02=8-x02，…①
由
x2+2y2=8
x0x
8
+
y0y
4
=1
，
则（2y02+x0 2）x2-16x0x+64-16y02=0，（4分）
代入①式，得x2-2x0x+x02=0，
则△(-2x0)2-4x02=0，
∴直线为椭圆的切线（6分）
（2）设P（x0，y0），则x0+y0-4=0，即x0=4-y0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则由（1）知，PM，PN切线方程为
x1x
8
+
y1y
4
=1
x2x
8
+
y2y
4
=1
，
且过P（x0，y0），则
x1x0
8
+
y1y0
4
=1
x2x0
8
+
y2y0
4
=1
，
∴MN所在直线方程为
x0x
8
+
y0y
4
=1，
即x0x+2y0y-8=0，（10分）
设所求距离为d，且F（2，0），
则d=
|2x0-8|
x02+4y02

=
|2y0| 
5y02-8y0+16 

=
2
16
y02
-
8
y0
+5

=
2
(
4
y0
-1)2+4
，
∴当y0=4时，dmin=1．（15分）
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
8
+
y2
4
=1的左焦点为F1，直线l：y=x-2与椭圆C交于A、B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）求△ABF1的面积．
已知椭圆
x2
8
+
y2
m
=1，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于
12
12
．
已知椭圆M：
x2
8
+
y2
4
=1和直线l1：y=
3
x，若双曲线N的一条渐近线为l1，其焦点与M的焦点相同．
（1）求双曲线N的方程；
（2）设直线l2过点P（0，4），且与双曲线N相交于A，B两点，与x轴交于点Q（Q与双曲线N的顶点不重合），若
PQ
=λ1
QA
=λ2
QB
，且λ1+λ2=-
8
3
，求直线l2的方程．
已知椭圆：
x2
8
+
y2
4
=1．
（1）若点（x，y0）为椭圆上的任意一点，求证：直线
x0x
8
+
y0y
4
=1为椭圆的切线；
（2）若点P为直线x+y-4=0上的任意一点，过P作椭圆的切线PM、PN，其中M、N为切点，试求椭圆的右焦点F到直线MN的距离的最大值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网