Question

（2013•石景山区二模）已知函数f（x）=x-[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f（x）=kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（　　）

• A．[-1，-

  1

  2

  )∪(

  1

  4

  ，

  1

  3

  ]
• B．(-1，-

  1

  2

  ]∪[

  1

  4

  ，

  1

  3

  )
• C．[-

  1

  3

  ，-

  1

  4

  )∪(

  1

  2

  ，1]
• D．(-

  1

  3

  ，-

  1

  4

  ]∪[

  1

  2

  ，1)

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）=x-[x]，可画出满足条件的图象，结合y=kx+k表示恒过A（-1，0）点斜率为k的直线，数形结合可得方程f（x）=kx+k有3个相异的实根．则函数f（x）=x-[x]与函数f（x）=kx+k的图象有且仅有3个交点，进而得到实数k的取值范围．

解答：解：函数f（x）=x-[x]的图象如下图所示：

y=kx+k表示恒过A（-1，0）点斜率为k的直线
若方程f（x）=kx+k有3个相异的实根．
则函数f（x）=x-[x]与函数f（x）=kx+k的图象有且仅有3个交点
由图可得：
当y=kx+k过（2，1）点时，k=

1

3

，
当y=kx+k过（3，1）点时，k=

1

4

，
当y=kx+k过（-2，1）点时，k=-1，
当y=kx+k过（-3，1）点时，k=-

1

2

，
则实数k满足

1

4

≤k＜

1

3

或-1＜k≤-

1

2

．
故选B．

点评：本题考查的知识点是根据根的存在性及根的个数的判断，其中将方程的根转化为函数的零点，然后利用图象法结合数形结合的思想，分析函数图象交点与k的关系是解答本题的关键．