题目内容

已知点P在椭圆 $数学公式$ 上，F₁，F₂是椭圆的两个焦点，△F₁PF₂是直角三角形，则这样的点P有

A.
2个
B.
4个
C.
6个
D.
8个

A
分析：如图，设椭圆的一个顶点是A，在三角形OAF1中，求得∠AOF₂=45°，从而∠F₁AF₂=90°，根据当点P位于A（0，b）或（0，-b）处时，∠F₁PF₂最大．得到使得△F₁PF₂是直角三角形，则这样的点P有多少个即可．
解答：

解：如图，设椭圆的一个顶点是A，
在三角形OAF1中，OA= $\text{[math]}$ ，AF2= $\text{[math]}$ ，
∴cos∠AOF₂= $\text{[math]}$ ，
∴∠AOF₂=45°，
∴∠F₁AF₂=90°，
由图可知，，△F₁PF₂是直角三角形，则这样的点P有两个（即下下两个顶点）
故选A．
点评：本题考查椭圆的性质及其应用，难度不大，正确解题的关键是知道当点P位于A（0，b）或（0，-b）处时，∠F₁PF₂最大．

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的正三角形．
（Ⅰ）求椭圆D的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆D上的一点，过点P的直线l交x轴于点F（-1，0），交y轴于点Q，若

，求直线l的斜率；
（Ⅲ）过点G（0，-2）作直线GK与椭圆N：

=1左半部分交于H，K两点，又过椭圆N的右焦点F₁做平行于HK的直线交椭圆N于R，S两点，试判断满足|GH|•|GK|=3|RF₁|•|F₁S|的直线GK是否存在？请说明理由．

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