题目内容

已知△ABC的外接圆的圆心为O，AC=6，BC=7，AB=8，则 $数学公式$ =________．

-14
分析：作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，由垂径定理得D、E分别为AB、AE的中点，利用三角函数在直角三角形中的定义，可得cos∠OAD= $\text{[math]}$ ，由向量数量积的定义得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |²=32，同理可得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |²=18，而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，展开后代入前面的数据即可得到 $\text{[math]}$ 的值．
解答：

作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，
∵⊙O中，OD⊥AB，
∴AD= $\text{[math]}$ AB，cos∠OAD= $\text{[math]}$
因此， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |cos∠OAD=| $\text{[math]}$ |•| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |²=32
同理可得 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |²=18
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =18-32=-14
故答案为：-14
点评：本题给出三角形的外接圆的圆心为0，在已知三边长的情况下求 $\text{[math]}$ 的值，着重考查了圆中垂直于弦的直径性质、三角函数在直角三角形中的定义和向量数量积公式及其性质等知识，属于中档题．