Question

已知二次函数f（x）满足：方程f（x）=0有等根，f（0）=1，f（1）=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数在[-3，2]上的最值．

Answer 1

分析：（1）用待定系数法设出f（x）=ax²+bx+c（a≠0），据△=0和f（0）=1，f（1）=0，求出a，b，c的值即可得f（x）的解析式；
（2）根据[-3，2]离对称轴最近的点取最小值，离对称轴最远的点取最大值，即可得答案．

解答：解：（1）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
方程f（x）=0有等根，即ax²+bx+c=0有两个相等的根，
∴△=b²-4ac=0  ①
又f（0）=1，f（1）=0
即c=1 ②，a+b+c=0  ③
联立①②③，解得a=1，b=-2，c=1
∴f（x）=x²-2x+1．
（2）f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
又x∈[-3，2]，
∴当x=1时，f（x）_min=f（1）=0，
当x=-3时，f（x）_max=f（-3）=16．

点评：本题考查了二次函数的解析式、最值问题，二次函数的相关问题一般从开口方向和对称轴入手考虑，本题求解析式涉及了待定系数法的应用．属于基础题．