Question

(本小题满分14分）设数列{an}为前n项和为Sn，数列{bn}满足：bn =nan，且数列{bn}的前n项和为(n-1)Sn+2n  (n∈N*)．

(1)求a1,a2的值；

(2)求证：数列{ Sn +2}是等比数列；

(3)抽去数列{an}中的第1项，第4项，第7项，……，第3n-2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{cn}，若{cn}的前n项和为Tn，求证：

＜≤

Answer 1

(本小题满分14分）

解：(1)由题意得：a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1) Sn +2n；

当n=1时，则有：a1=(1-1)S1 +2，解得：a1=2；

当n=2时，则有：a1+2a2=(2-1)S2 +4，即2+2a2=(2+a2)+4，解得：a2=4。（3分）

(2)由a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn +2n，……①  得

a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1= n Sn+1+2(n+1) ，  ②

②-①得：(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2，（4分）

即 (n+1)(Sn+1- Sn)= nSn+1-(n-1)Sn+2，得Sn+1=2Sn+2；

∴ Sn+1+2=2(Sn+2)，（5分）

由S1+2= a1+2=4≠0知

数列{ Sn +2}是以4为首项，2为公比的等比数列。（6分）

(3)由(2)知 Sn +2=4×2n-1-2=2n+1-2，

当n≥2时，an= Sn- Sn-1 =(2n+1-2)-( 2n-2)= 2n对n=1也成立，即an= 2n，

∴数列{cn}为22，23，25，26，28，29，……，它的奇数项组成以4为首项，公比为8的等比数列；偶数项组成以8为首项、公比为8的等比数列；（8分）

∴当 n=2k-1(k∈N*)时，

Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k-2)

=(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k-3)

                =+ =×8k-，

Tn+1= Tn+cn+1=×8k-+23k=×8k-，（9分）

　=　　=　+，（10分）

∵ 5×8k-12≥28，∴＜≤3。（11分）

∴当n=2k (k∈N*)时，

Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k)

=(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k)

     =+=×8k-，（12分）

Tn+1= Tn+cn+1=×8k-+23k+2=×8k-，（13分）

      ∴ 　=　　=　+，∵8k-1≥7 ，∴＜＜，

∴ ＜≤。（14分）