Question

已知数列{a_n}，a₁=1，a_n=λa_n-1+λ-2（n≥2）．
（1）当λ为何值时，数列{a_n}可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；
（2）若λ=3，求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）根据a_n=λa_n-1+λ-2，可得a₂，a₃的值，利用数列{a_n}可以构成公差不为零的等差数列，可求λ的值，从而可求数列的通项公式；
（2）当λ=3时，a_n=3a_n-1+1，即a_n+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

），构造新数列b_n=a_n+

1

2

，可得数列{b_n}构成首项为b₁=

3

2

，公比为3的等比数列，从而可求数列{a_n}的通项公式a_n．

解答：解：（1）a₂=λa₁+λ-2=2λ-2，a₃=λa₂+λ-2=2λ²-2λ+λ-2=2λ²-λ-2，
∵a₁+a₃=2a₂，∴1+2λ²-λ-2=2（2λ-2），得2λ²-5λ+3=0，解得λ=1或λ=

3

2

．
当λ=

3

2

时，a₂=2×

3

2

-2=1，a₁=a₂，故λ=

3

2

不合题意舍去；
当λ=1时，代入a_n=λa_n-1+λ-2可得a_n-a_n-1=-1，
∴数列{a_n}构成首项为a₁=1，d=-1的等差数列，
∴a_n=2-n．
（2）当λ=3时，a_n=3a_n-1+1，即a_n+

1

2

=3（a_n-1+

1

2

），
令b_n=a_n+

1

2

即b_n=3b_n-1，
∴数列{b_n}构成首项为b₁=

3

2

，公比为3的等比数列，
∴b_n=

3

2

×3^n-1=

3n

2

，
∴a_n=

3n

2

-

1

2

点评：本题考查等差数列的定义，考查构造法证明等比数列，解题的关键是对递推式进行变形，构造等比数列模型．