Question

已知函数f（x）=|log₂x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，则m、n的值分别为（　　）

• A、

  2

  2

  ，

  2

• B、

  1

  4

  ，2
• C、

  1

  2

  ，2
• D、

  1

  4

  ，4

Answer 1

分析：利用函数的单调性可得∴|

log

m2 2

|=2，或 log₂ⁿ=2，当|

log

m2 2

|=2时，n=

1

m

，n=2，m=

1

2

，经检验满足条件，
当 log₂ⁿ=2时，n=4，m=

1

4

，经检验不满足条件．

解答：解：由题意得-log₂^m=log₂ⁿ，

1

m

=n，函数f（x）=|log₂x|在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数，
∴|

log

m2 2

|=2，或 log₂ⁿ=2．
∴当|

log

m2 2

|=2时，n=

1

m

，n=2，m=

1

2

．此时，f（x）在区间[m²，n]上的最大值为2，满足条件．
当 log₂ⁿ=2时，n=4，m=

1

4

，此时，f（x）在区间[m²，n]上的最大值为|

log

1 16 2

|=4，不满足条件．
综上，n=2，m=

1

2

．
故选 C．

点评：本题考查函数的单调性和特殊点，函数的最值的求法，体现了分类讨论的数学思想．