Question

定义在R上的函数f （x）满足：如果对任意x₁，x₂∈R，都有，则称函数f （x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），
（1）当a=1时，试判断函数f （x）是否为凹函数，并说明理由；
（2）如果函数f （x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）先表示出函数f（x）的解析式，再根据凹函数定义即可验证．
（2）由|f（x）|≤1表示出关于a的不等式，再根据x的取值范围进行分析可得答案．
解答：解：（1）a=1时，函数f（x）是凹函数，
此时f（x）=x²+x，=（）²+（），[f（x₁）+f（x₂）]=[x₁²+x₁+x₂²+x₂]，
作差得到：²-[f（x₁）+f（x₂）]
=（）²+（）-（x₁²+x₂²）-（x₁+x₂）
=
==0，
即有[f（x₁）+f（x₂）]，
故知函数f（x）=x²+x为凹函数；
（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，
则有
i）若x=0时，则a∈R恒成立，
ii）若x∈（0，1]时，有
∵0＜x≤1⇒．
∴当=1时，
所以0≥a≥-2．
点评：本题是先给出新定义--凹函数，然后根据这个定义证明．这里主要考查学生接受新内容快慢的能力．