Question

在数列中，，且对任意的，成等比数列，其公比为．

（1）若= 2（），求；

（2）若对任意的，,,成等差数列，其公差为，设．

   ① 求证：成等差数列，并指出其公差；

   ②若=2，试求数列的前项的和．

Answer 1

 解：（1）因为= 2，所以，故是首项为1，公比为4的等比数列，所以，  ……………………4分

（2）①因为,,成等差数列，所以2=+，

 而，所以，即，……7分

得，即，所以，

所以成等差数列，且公差为1．     ……………………………………9分

②因为=2，所以，则由，解得或，…………10分

当时，q₁= 2，所以b₁=1，则b_k =1+（k—1）= k，即，得，

所以，

则，……12分

则，

所以，故，……………………………14分

当时，q₁= -1，所以b₁=，则b_k =+（k—1）= k，即，

得，所以，

则，

所以，

则，故，

综上所述，或．