Question

素材1：tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1;

素材2：tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1.

将以上素材构建成一个问题，然后再解答.

Answer 1

构建问题：观察：①tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=1；

②tan5°tan10°+tan10°tan75°+tan75°tan5°=1.由以上两式一个从特殊到一般的推广，并证明你的推广.

解析：观察到10°+20°+60°=90°，10°+75°+5°=90°，

因此猜测此推广为α+β+γ=,且α、β、γ都不为kπ+,k∈Z,则tanαtanβ+tanβtanγ+tanαtanγ=1.

证明如下：由α+β+γ=得α+β=-γ,

∴tan(α+β)=tan(-γ)=cotγ.

又∵ tan(α+β)=,

∴tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)=cotγ(1-tanαtanβ).

∴tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα

=tanγ(tanα+tanβ)+tanαtanβ

=tanγ(1-tanαtanβ)·cotγ+tanαtanβ

=1-tanαtanβ+tanαtanβ=1.