Question

已知函数f(x)=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，则函数g（x）=x²f（x-1）的值域是（　　）

A．（-∞，+∞）

B．（-1，0）∪[1，+∞）

C．（-∞，0]∪（1，+∞）

D．（-1，+∞）

Answer 1

分析：f（x）=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，当x＞1时，x-1＞0，g（x）=x²f（x-1）=x²＞1；当x=1时，g（x）=x²f（x-1）=0；当0＜x＜1时，g（x）=x²f（x-1）=-x²∈（-1，0）；当x＜0时，g（x）=x²f（x-1）=-x²＜0．由此能求出函数g（x）=x²f（x-1）的值域．

解答：解：∵f（x）=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，
∴当x＞1时，x-1＞0，f（x-1）=1，
g（x）=x²f（x-1）=x²＞1；
当x=1时，x-1=0，f（x-1）=0，
g（x）=x²f（x-1）=0；
当0＜x＜1时，x-1＜0，f（x-1）=-1，
g（x）=x²f（x-1）=-x²∈（-1，0）；
当x＜0时，x-1＜0，f（x-1）=-1，
g（x）=x²f（x-1）=-x²＜0．
综上所述，函数g（x）=x²f（x-1）的值域（-∞，0]∪（1，+∞）．
故选C．

点评：本题考查函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．