题目内容

已知函数f（x）=kx3-4x2-8在区间[2，8]上是单调函数，求实数k的取值范围．
分析：先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3-4x2-8在区间[2，8]上是单调函数转化成在[2，8]上f'（x）≥0或f'（x）≤0
恒成立，利用分离参数法分离出k，转化成恒成立问题，从而求出实数k的取值范围．
解答：解：∵f（x）=kx3-4x2-8
∴f'（x）=3kx2-8x
∵f（x）在[2，8]上单调
∴在[2，8]上f'（x）≥0或f'（x）≤0
若f'（x）≥0即3kx2-8x≥0成立，
则k≥
8
3x

∴k≥
4
3

若f'（x）≤0即3kx2-8x≤0成立
则k≤
8
3x

∴k≤
1
3

综上所示，k的取值范围为(-∞，
1
3
]∪[
4
3
，+∞)．
点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．
已知函数f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．
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（2）若函数g(x)=
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②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（
π
3
，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于-
3

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1
2
)x-x
1
3
在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量
a
=(1，-2)与向量
b
=(1，m)的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（-∞，
1
2
）
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
（已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．

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