Question

已知函数f(x)=

-x2+4x-10，(x≤2) log3(x-1)-6，(x＞2)

，若f（6-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是

（-3，2）

．

Answer 1

分析：确定函数在R上是单调递增函数，将f（6-a²）＞f（a），转化为6-a²＞a，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：∵函数y₁=-x²+4x-10=-（x-2）²-6，∴x≤2时，函数单调增，且x=2时，y₁=-6
∴y₁≤-6
∵x＞2时，函数y₂=log₃（x-1）-6，函数单调增，且x=2时，y₂=-6
∴y₂≥-6
∴函数f(x)=

-x2+4x-10，(x≤2) log3(x-1)-6，(x＞2)

在R上是单调递增函数
∵f（6-a²）＞f（a），
∴6-a²＞a，
∴a²+a-6＜0
∴-3＜a＜2
∴实数a的取值范围是（-3，2）
故答案为：（-3，2）．

点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，求得函数的单调性是关键．