Question

（本小题满分12分）

已知函数（e为自然对数的底数）

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）设不等式的解集为P，且，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）设，证明：

Answer 1

解：（Ⅰ）解：的导数.令，解得；令，解得.

从而在内单调递减，在内单调递增.

所以，当时，取得最小值.         ………….. 3分

（Ⅱ）解：因为不等式的解集为，且，所以对于任意，不等式 恒成立.    ………….. 4分由，得 .

当时，上述不等式显然成立，故只需考虑的情况. ………….. 5分

将 变形为 ，令 ，则的导数，

令，解得；令，解得.从而在内单调递减，在内单调增.所以，当时，取得最小值，

从而实数的取值范围是. .. 8分

（Ⅲ）证明： 因

只需证明：.   10分

即   .即  ，（*）

由（Ⅰ）得，对于任意，都有，即 .…              

 当时（*）式成立。故原不等式成立。                           . .. 12分