Question

（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点，过点作抛物线的切线，其切点分别为（其中）。

⑴ 求的值；

⑵ 若以点为圆心的圆与直线相切，求圆的面积。

 

Answer 1

【答案】

⑴，；⑵圆的面积为 。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由y=x²先求出y′=2x．再由直线PM与曲线T₀相切，且过点P（1，-1），得到x₁=1-，或x₁=1+；同理可得x₂=1-，或x₂=1+，然后由x₁＜x₂知x₁=1-，x₂=1+．

（Ⅱ）由题意知，x₁+x₂=2，x₁•x₂=-1，则直线MN的方程为：2x-y+1=0．再由点P到直线MN的距离即为圆E的半径，可求出圆E的面积．

解：⑴由可得，    ……1分

∵直线与曲线相切，且过点，∴，即，

即，   ……3分     ∴，  ……5分

同理可得    ……6分

∵    ∴，    ……7分

⑵由⑴知，   

      ……9分

直线方程为：， 即   ……11分

     ……13分   故圆的面积为      ……14分

考点：本试题主要考查了直线和圆锥曲线的位置关系，运用导数的思想得到切线的斜率，进而得到坐标的值，解题时要认真审题，仔细解答．

点评：解决该试题的关键是能运用导数的几何意义得到切点的坐标，并能利用韦达定理，得到直线方程，点到直线的距离公式得到圆的半径求解其面积。